La covariance : formule, calcul et utilité en gestion de portefeuille

La covariance mesure si deux variables évoluent ensemble ou en sens opposé. Positive, elles montent et descendent ensemble ; négative, elles vont en sens contraire ; nulle, aucun lien linéaire ne se dégage entre elles.

En finance, c'est la brique de base du calcul de risque d'un portefeuille : c'est elle qui explique pourquoi deux actifs qui ne bougent pas en même temps réduisent le risque de l'ensemble. Mais son résultat brut est presque inexploitable tel quel, pour une raison que cet article détaille : la covariance n'a pas d'échelle.

Qu'est-ce que la covariance ?

La covariance est une mesure de la dépendance linéaire entre deux variables. Elle répond à une question simple : quand l'une s'écarte de sa moyenne, l'autre a-t-elle tendance à s'en écarter dans le même sens ?

Le mécanisme du calcul rend cela intuitif. Pour chaque observation, on mesure l'écart de x à sa moyenne et l'écart de y à sa moyenne, puis on multiplie les deux. Si les deux écarts vont dans le même sens, le produit est positif ; s'ils vont en sens contraire, il est négatif. La covariance est la moyenne de tous ces produits : elle est positive si les mouvements concordants dominent, négative dans le cas inverse.

Deux points de vocabulaire à fixer tout de suite, car ils sont la source de la plupart des confusions. La covariance n'est pas la corrélation : la corrélation est la covariance ramenée à une échelle comparable. Et une covariance nulle signale l'absence de relation linéaire, pas l'absence de toute relation — deux variables peuvent être liées de façon parfaitement déterministe et avoir une covariance nulle si le lien n'est pas linéaire.

La formule de la covariance

Sur des données individuelles

Pour deux variables x et y observées n fois, la covariance s'écrit :

où x̄ et ȳ désignent les moyennes des deux séries et n le nombre total d'observations.

Une variante existe, et le choix entre les deux n'a rien d'anecdotique. Si vos données constituent la population entière, on divise par n. Si elles constituent un échantillon dont vous voulez estimer la covariance de la population, on divise par n − 1 :

Ce dénominateur réduit s'appelle la correction de Bessel. Elle compense le fait qu'un échantillon sous-estime en moyenne la dispersion réelle. Le critère n'est donc pas la taille des données, mais leur statut : population complète ou échantillon.

Sur des données groupées

Quand les mêmes couples de valeurs se répètent, on travaille sur un tableau de fréquences plutôt que sur la liste complète des observations. La formule intègre alors la fréquence f de chaque couple :

où fᵢ est le nombre de répétitions du couple (xᵢ, yᵢ) et n la somme des fréquences, c'est-à-dire le nombre total d'observations. Le résultat est identique à celui obtenu sur les données non groupées : seul le chemin de calcul est plus court.

Comment interpréter le résultat : le piège de l'échelle

C'est le point que la plupart des présentations escamotent, et il conditionne tout usage de la covariance.

La covariance n'est pas bornée. Elle peut prendre n'importe quelle valeur entre moins l'infini et plus l'infini. Une covariance de 1, de 40 ou de 12 000 ne dit rien en soi sur la force du lien : cela dépend entièrement de la dispersion des deux variables et de leurs unités de mesure.

• Changer d'unité change le résultat. Mesurer un poids en grammes plutôt qu'en kilogrammes multiplie la covariance par mille, sans que la relation entre les variables ait bougé d'un iota.
• Deux covariances ne sont pas comparables entre elles si elles portent sur des couples de variables différents. Une covariance de 5 entre deux actions ne signale pas un lien plus fort qu'une covariance de 2 entre deux autres.

Ce que le signe indique, en revanche, est fiable et immédiatement utile : positif, elles évoluent ensemble ; négatif, en sens contraire ; nul, sans lien linéaire. Pour tout le reste — mesurer l'intensité de la relation, comparer plusieurs paires — il faut normaliser, c'est-à-dire passer à la corrélation.

Propriétés de la covariance

Cinq propriétés sont à connaître, et deux d'entre elles servent de garde-fou au calcul.

• La covariance entre une variable et une constante est nulle. Une constante ne s'écarte jamais de sa moyenne : tous les produits sont nuls.
• La covariance d'une variable avec elle-même est sa variance. Cov(x, x) = Var(x). C'est la vérification la plus rapide d'une matrice de covariance : sa diagonale contient les variances.
• Elle est symétrique : Cov(x, y) = Cov(y, x). L'ordre des variables n'a aucune importance.
• Elle n'est pas normalisée, comme expliqué plus haut, ce qui interdit la comparaison directe entre covariances.
• Elle ne capte que le linéaire. Une covariance nulle n'exclut pas une relation forte mais non linéaire, par exemple en forme de U.

Covariance ou corrélation : laquelle utiliser ?

Les deux notions mesurent la même chose, mais une seule est interprétable directement.

La corrélation s'obtient en divisant la covariance par le produit des écarts-types des deux variables :

Cette division élimine les unités et l'échelle. Le résultat est nécessairement compris entre −1 et 1 : 1 signale une relation linéaire parfaitement positive, −1 une relation parfaitement négative, 0 l'absence de relation linéaire.

La règle d'usage est simple. La covariance sert dans les formules de calcul — variance d'un portefeuille, bêta d'un actif, régression — où c'est bien la grandeur non normalisée qui intervient. La corrélation sert à interpréter et comparer : elle répond à la question « ce lien est-il fort ? », que la covariance est incapable de trancher.

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Exemple de calcul pas à pas

Prenons deux variables x et y, observées 32 fois.

Étape 1 — les moyennes. La somme de X vaut 196 et celle de Y 159, sur 32 observations : x̄ = 196 / 32 = 6,125 et ȳ = 159 / 32 = 4,9688.

Étape 2 — les écarts et leurs produits. Pour chaque ligne, on calcule (xᵢ − x̄) et (yᵢ − ȳ), puis leur produit. Sur la première observation : (10 − 6,125) × (5 − 4,9688) = 3,875 × 0,0313 = 0,1211. Sur la deuxième : (5 − 6,125) × (10 − 4,9688) = −1,125 × 5,0313 = −5,6602, négatif parce que x est sous sa moyenne alors que y est largement au-dessus.

Étape 3 — la somme et la division. La somme des 32 produits atteint 33,125. Reste à diviser : en population, 33,125 / 32 = 1,0352 ; en échantillon, 33,125 / 31 = 1,0685.

Étape 4 — et maintenant, que vaut ce 1,0352 ? Rien, tant qu'on ne l'a pas normalisé. Les écarts-types de population valent ici σx = 2,7811 et σy = 2,9737. La corrélation est donc ρ = 1,0352 / (2,7811 × 2,9737) = 0,1252.

Voilà l'information utile : le lien entre x et y est positif mais faible, à peine 0,13 sur une échelle de −1 à 1. Une covariance « supérieure à 1 » pouvait laisser croire à une relation étroite ; la corrélation montre qu'il n'en est rien. C'est exactement le piège décrit plus haut.

Le même calcul sur des données groupées

Voici dix couples d'observations dont plusieurs se répètent :

Les moyennes valent x̄ = 39/10 = 3,9 et ȳ = 71/10 = 7,1. En regroupant les couples identiques, le calcul se réduit à cinq lignes :

La somme de la dernière colonne vaut 15,10. En traitant ces dix observations comme un échantillon, on divise par n − 1 = 9, ce qui donne 1,6778.

À quoi sert la covariance en gestion de portefeuille ?

Trois usages concrets, et il vaut la peine d'être précis sur ce que la covariance fait — et sur ce qu'elle ne fait pas.

Calculer le risque d'un portefeuille. C'est son usage central. La variance d'un portefeuille n'est pas la moyenne des variances de ses composants : elle intègre les covariances entre chaque paire d'actifs. Pour deux actifs de poids w₁ et w₂ :

Ce dernier terme est tout l'enjeu de la diversification. Plus la covariance entre les actifs est faible, plus le risque du portefeuille descend en dessous de la moyenne des risques individuels ; une covariance négative le réduit davantage encore. Au-delà de deux actifs, on construit une matrice de variance-covariance, dont la diagonale contient les variances et le reste les covariances entre paires.

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Mesurer la sensibilité au marché. Le bêta d'un actif, qui mesure son amplification des mouvements de l'indice, est un rapport de covariance :

Sélectionner des actifs complémentaires. Que l'on compare deux actions ou une action et un indice boursier, le raisonnement est le même. En comparant les corrélations entre les candidats — et non les covariances brutes, qui ne sont pas comparables — on identifie ceux qui apportent réellement de la diversification. C'est la logique d'un portefeuille diversifié : chercher des actifs dont les mouvements ne se superposent pas.

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Une précision qui corrige une confusion fréquente : la covariance n'intervient pas dans le rendement espéré d'un portefeuille. Celui-ci est simplement la moyenne des rendements espérés pondérée par les poids, E(Rp) = Σ wᵢ E(Rᵢ). La covariance gouverne le risque, pas la performance attendue. Confondre les deux conduit à des décisions d'allocation erronées.

Calculer la covariance avec Excel

En pratique, personne ne fait ce calcul à la main au-delà de quelques lignes. Deux fonctions suffisent, et la distinction entre elles est exactement celle du dénominateur :

• COVARIANCE.P(plage1 ; plage2) divise par n. À utiliser quand vos données constituent la population entière.
• COVARIANCE.S(plage1 ; plage2) divise par n − 1. À utiliser sur un échantillon, ce qui est le cas de la quasi-totalité des séries financières.

Sur l'exemple ci-dessus, la première renverrait 1,0352 et la seconde 1,0685. Pour obtenir directement la corrélation, la fonction COEFFICIENT.CORRELATION évite le passage par les écarts-types.

Un point d'attention sur les séries de rendements : la covariance calculée sur des rendements mensuels s'exprime en unités mensuelles. Pour raisonner en annuel, il faut annualiser, ce qui pour un écart-type revient à le multiplier par la racine carrée de 12.

En résumé, la covariance répond à une seule question de façon fiable : deux variables évoluent-elles dans le même sens ? Son signe est immédiatement lisible, son ampleur ne l'est pas — elle dépend des unités et de la dispersion, ce qui interdit de comparer deux covariances entre elles ou de conclure quoi que ce soit d'un chiffre isolé.

Le bon réflexe est donc double. Utilisez la covariance là où les formules l'exigent — variance de portefeuille, bêta, régression — et passez systématiquement à la corrélation pour interpréter. Notre exemple le montre sans ambiguïté : une covariance de 1,0352 correspondait à une corrélation de seulement 0,1252, soit un lien beaucoup plus ténu que le chiffre brut ne le suggérait.

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Questions fréquentes sur la covariance